Aριθμοί υπάρχουν
από αρχαιοτάτων χρόνων... Α', Β', Γ'... Ι, ΙΙ, ΙΙΙ... 1, 2, 3...
και καθώς οι πολιτισμοί εξελίσσονταν, ο ανθρώπινος νους άρχισε να συνειδητοποιεί πως μπορεί να συνεχίσει να μετράει.
Και οι αριθμοί μεγάλωναν.
Η πιο σημαντική "ανακάλυψη" στον κόσμο των αριθμών, ήταν ο αριθμός μηδέν.
Το ανθρώπινο μυαλό έκανε ένα μεγάλο βήμα μπροστά όταν εννόησε πως το "τίποτα" δεν είναι τίποτα, αλλά κάτι.
Είναι "0".
Οι Αρχαίοι Έλληνες δεν μπόρεσαν να απαντήσουν στην ερώτηση του πως το τίποτα να είναι κάτι. Το Μηδέν τους διέφυγε.
Το σκαλοπάτι αυτό δεν το ανεβήκαμε μονομιάς. Η πρώτη έκφραση του μηδέν φαίνεται να υιοθετήθηκε στην Ινδία κατά τον ένατο αιώνα της Κοινής (ημερολογιακής) Εποχής (μετά Χριστόν για τους θρησκευόμενους Χριστιανούς).
Δύο χιλιάδες χρόνια πριν την Ινδία, οι Αιγύπτιοι είχαν ένα σύμβολο που σήμαινε "ομορφιά" και εννοείτο ως αρχή μιας πορείας, ή μιας καταμέτρησης όπως σήμερα θα χρησιμοποιούσαμε το μηδέν.
 |
| Οι αριθμοί 1,2,3, κλπ -αραβικοί αλγόριθμοι- επινοήθηκαν από εμπόρους για να μετρούν στις συναλλαγές τους, με κάτι πιο πρακτικό από τους Ρωμαϊκούς αλγόριθμους I, II, III, IV, κλπ. |
Μεταξύ του 500 και 825 της Κοινής Εποχής ο αριθμός μηδέν άρχισε να εκφράζεται από τους Άραβες, και από εκείνους το Μηδέν βρήκε τον δρόμο προς την Ευρώπη τον ενδέκατο αιώνα.
Η Άλγεβρα, τα μαθηματικά, η επιστήμη, δεν θα είχαν μπορέσει να προχωρήσουν χωρίς τον αριθμό Μηδέν.
Αιώνες αργότερα, τον εικοστό αιώνα, έλλειπε κάτι ακόμα από τους αριθμούς. Έλλειπε το Άπειρο.
Το ανθρώπινο μυαλό ήδη δεν συλλαμβάνει μεγάλους αριθμούς.
Είναι εύκολο να πιάσουμε αριθμούς όπως 300,000 χιλιόμετρα μέχρι το Φεγγάρι, ή 1,000,000 Ευρώ.
Αλλά από δισεκατομμύριο, τρισεκατομμύριο και πάνω τα νούμερα αυτά γίνονται αφηρημένα χωρίς να μπορούμε να τα κατανοούμε όπως παραδείγματος χάριν μπορούμε να κατανοήσουμε μια απόσταση δέκα μέτρων.
Εν τω μεταξύ, το να γράψει κανείς με μολύβι, ή στυλό, σε ένα κομμάτι χαρτί, τον αριθμό Γκούγκολπλεξ, είναι αδύνατο, γιατί θα χρειαζόταν χαρτί μεγαλύτερης επιφάνειας από την χωρητικότητα του γνωστού σύμπαντος.
Υπάρχουν λιγότερα άτομα στο γνωστό σύμπαν όλων των γνωστών γαλαξιών από όσο είναι ένα Γκούγκολπλεξ. Και το Γκούγκολπλεξ, είπαμε, δεν είναι τίποτα συγκρινόμενο με το Άπειρο.
Βέβαια, υπάρχει και ο αριθμός του Γκράχαμ, ο οποίος είναι πολύ μεγαλύτερος από το Γκούγκολπλεξ αλλά ούτε ο κύριος Γκράχαμ δεν ξέρει πόσα νούμερα έχει μέσα του.
Το Άπειρο είναι περίεργο και παράδοξο.
Άπειρο + 1 = Άπειρο
Άπειρο + Άπειρο = Άπειρο
Άπειρο - 1 = Άπειρο
Άπειρο - Άπειρο = Μηδέν... αλλά όχι ακριβώς.
Σκεφτείτε το ξενοδοχείο, Ξενοδοχείον "Το Άπειρο", ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια.
Το ξενοδοχείο είναι φουλ, με άπειρους τουρίστες σε όλα τα δωμάτια.
Όταν έρθετε να κοιμηθείτε το βράδυ, αν και το ξενοδοχείο είναι πλήρες, το Άπειρο έχει πάντα ένα δωμάτιο παραπάνω. Υπάρχει και για σας ένα.
Αν όμως το επόμενο πρωί φύγουν Άπειροι τουρίστες από το ξενοδοχείο, τότε Άπειρα δωμάτια μείον Άπειροι τουρίστες ίσον 1.
Γιατί εσείς μείνατε στο δωμάτιό σας.
Τότε, Άπειρο - Άπειρο = 1. Και ου το καθεξής.
Αν φεύγατε όμως και εσείς μαζί με τους τουρίστες, τότε θα μπορούσαμε να πούμε ότι Άπειρο - Άπειρο = Μηδέν;
Όχι ακριβώς, γιατί το Άπειρο δεν έχει τέλος, άρα όσο και να αφαιρέσετε, λογικά παραμένουν Άπειρες θέσεις που δεν αφαιρέσατε.
Εάν το Σύμπαν είναι Άπειρο, και το γνωστό Σύμπαν έχει ακτίνα 13,7 δισεκατομμύρια έτη φωτός από την Γη (όση απόσταση κάλυψε το φως από το Μπιγκ Μπάνγκ για να φτάσει σε εμάς σήμερα), τότε, τι υπάρχει πέρα από το Γνωστό Σύμπαν;
Σύμπαν επ' Άπειρο, ή επαναλαμβανόμενα Σύμπαντα, όπου υπάρχουν άπειρες κόπιες του κάθε τι που υπάρχει στο γνωστό Σύμπαν, ημών συμπεριλαμβανομένων, με διαφορετικές όμως τύχες;
Οι νόμοι της φυσικής υποδεικνύουν ότι η τιμή της υπάρχουσας ύλης δεν μπορεί να είναι Άπειρη.
Ή, ίσως να είναι Άπειρη αλλά εμείς να μην έχουμε την ικανότητα να αντιληφθούμε την πραγματική κοσμική Φυσική και οι νόμοι που ανακαλύπτουμε να είναι πλασματικοί, αντιπροσωπεύοντες μόνο εκείνο το οποίο να μπορούμε να κατανοήσουμε -ή, που θέλουμε να κατανοήσουμε.
Κι όμως ένας Άνθρωπος
Κατάφερε να το Μετρήσει
Διαγράφοντας μια πορεία συνυφασμένη με την ανθρώπινη εξέλιξη, τα μαθηματικά πάντα ήταν σε θέση να προσφέρουν τροφή για σκέψη ακόμα και σε όσους δεν είχαν άμεση επαφή μαζί τους.
Κάθε αυστηρά ορισμένη μαθηματική έννοια που φαίνεται απρόσιτη ανάμεσα στους περίεργους συμβολισμούς, γίνεται αμέσως πιο ενδιαφέρουσα όταν εμπλακεί η φιλοσοφία για να της δώσει μια πιο... γλυκιά όψη.
Αυτός είναι και ο μοναδικός τρόπος ώστε η μαθηματική λογική να γίνει αντιληπτή χωρίς να απαιτούνται μαθηματικές γνώσεις.
Φιλοσοφία και μαθηματικά δημιούργησαν από πολύ νωρίς σχέσεις αλληλεξάρτησης.
Ο βασικός παράγοντας για να αρχίσει αυτή η... σύμπλευση των επιστημών βρισκόταν κρυμμένος πίσω από την πιο μυστηριώδη έννοια των μαθηματικών, το άπειρο.
Τόσο οι μαθηματικοί όσο και οι φιλόσοφοι δυσκολεύονταν να κατανοήσουν την αφηρημένη έννοια του απείρου.
Το... πλαγιαστό οχτάρι εμφανιζόταν σαν θεϊκό σύμβολο στα τετράδια των επιστημόνων, εκφράζοντας την έννοια του αμέτρητου, του άπιαστου, ίσως και του ανεξήγητου.
Λίγο μετά τα μέσα του 19ου αιώνα, ένας παράτολμος Ρώσος αποφάσισε να εστιάσει τις έρευνες του γύρω από την σημασία του απείρου, προσπαθώντας να του δώσει έναν πιο δομημένο ορισμό.
Κάποια χρόνια μετά, οι προσπάθειες του Γκέοργκ Κάντορ στέφθηκαν από απόλυτη επιτυχία. Το άπειρο δεν αποτελούσε πλέον τον «δαίμονα» των μαθηματικών. Μήπως όμως είχε καταφέρει να εισβάλει τόσο βαθειά στην σκέψη του, ώστε ο Ρώσος μαθηματικός να χάσει... την λογική του;
Στην προσπάθεια του να διασαφηνίσει την έννοια του απείρου, ο Κάντορ δημιούργησε έναν ολοκαίνουργιο κλάδο των μαθηματικών, την Θεωρία Συνόλων.
Η έννοια του συνόλου υπήρχε από παλαιότερα στα μαθηματικά, όμως το περιεχόμενο ενός συνόλου δεν θα μπορούσε παρά να είναι πεπερασμένο σε πλήθος.
Ο Ρώσος μαθηματικός δημιούργησε σύνολα που περιείχαν άπειρα στοιχεία και εργάστηκε πολλά χρόνια ώστε να ολοκληρώσει την θεωρία του.
Σε ένα από τα τελευταία κομμάτια της εργασίας του ο Κάντορ επιχείρησε να διαμελίσει την έννοια του απείρου, μετρώντας τα στοιχεία του.
Χρησιμοποιώντας την θεωρία συνόλων, κατέληξε πως υπάρχουν διαφορετικές όψεις της ίδιας έννοιας.
Αν για παράδειγμα πάρουμε στη σειρά όλους τους φυσικούς αριθμούς (1,2,3,4,...) τότε προφανώς θα φτάσουμε ως το άπειρο.
Αν προσπαθήσουμε να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας, πάλι θα φτάσουμε στο άπειρο, όμως με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο.
Στο σύνολο των φυσικών αριθμών υπάρχει μια συγκεκριμένη και σαφής πορεία προς το άπειρο.
Κάθε αριθμός απέχει απόσταση ίση με «1» από τον προηγούμενο του, ενώ μπορεί να αντιστοιχίσουμε κάθε στοιχείο του συνόλου με έναν πεπερασμένο αριθμό.
Από την άλλη, δεν υπάρχει καμία τεχνική για να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας. Μάλιστα, αποδεικνύεται πως ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της υπάρχει και άλλο στοιχείο.
Η έννοια του απείρου είναι πολύ πιο ισχυρή πάνω στην ευθεία, ή αντίστοιχα πάνω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Υπάρχουν αμέτρητοι τρόποι να φτάσει κανείς στο άπειρο. Αυτό που διαφέρει σε κάθε περίπτωση είναι, κατά κάποιο τρόπο, η «ταχύτητα» με την οποία μπορεί να το προσεγγίσει.
Ο Κάντορ απέδειξε πως υπάρχουν άπειρα σύνολα τα οποία είναι απείρως μεγαλύτερα από... μικρότερα άπειρα σύνολα. Διαίρεσε την έννοια του απείρου σε δύο ξεχωριστές υποκατηγορίες.
Αν ένα σύνολο περιέχει άπειρα στοιχεία μπορεί να είναι είτε αριθμήσιμο είτε υπεραριθμήσιμο.
Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των δύο υποκατηγοριών είναι πολύ αυστηρά ορισμένη.
Αν τα στοιχεία ενός συνόλου μπορούν να «μετρηθούν» μέσω κάποιας αντιστοιχίας τότε το σύνολο είναι αριθμήσιμο. Για παράδειγμα, η πορεία των φυσικών αριθμών προς το άπειρο αντιστοιχεί στον ίδιο τους τον εαυτό.
Κάθε στοιχείο αποτελεί και έναν φυσικό αριθμό, έχει δηλαδή μια συγκεκριμένη «ταυτότητα» που το ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα. Αντιθέτως, στην περίπτωση της ευθείας δεν υπάρχει κατάλληλη αντιστοιχία που να καλύπτει όλο το σύνολο.
Αφού λοιπόν το σύνολο δεν μπορεί να μετρηθεί, τότε χαρακτηρίζεται ως υπεραριθμήσιμο.
.JPG)
Οι επιρροές του μαθηματικού
από την φιλοσοφία
Ο Κάντορ κατάφερε να κινηθεί πρώτος σε μαθηματικά... μονοπάτια που δεν είχαν ανακαλυφθεί.
Χρησιμοποίησε έννοιες που θεωρούνταν «απαγορευμένες» στην τότε μαθηματική κοινότητα, προκαλώντας μάλιστα αρκετές αντιδράσεις.
Τα ερεθίσματα που τον οδήγησαν στις απίθανες ανακαλύψεις του, προέρχονταν από τον χώρο της φιλοσοφίας.
Η έννοια του απείρου, όταν αναφερόταν στα λόγια κάποιου φιλόσοφου, ακουγόταν πολύ πιο φιλική στα αυτιά του Ρώσου μαθηματικού.
Τα θεωρητικά λόγια που άκουγε και διάβαζε σε βιβλία γύρω από την έννοια του απείρου, του έδωσαν το έναυσμα για την αρχή των ερευνών του.
Ωστόσο η αφοσίωση του πάνω σε ένα τόσο λεπτό ζήτημα τον οδήγησε, ευτυχώς μετά από τις ανακαλύψεις του, στο ψυχιατρείο.
Ο Ρώσος μαθηματικός άρχισε να χάνει την λογική του, έπεσε σε πολύ βαθειά κατάθλιψη και έχασε κάθε επαφή με τον έξω κόσμο όταν εισήχθη σε νοσοκομείο, όπου πέρασε τα τελευταία χρόνια της ζωής του.
Η περίπτωση του πασίγνωστου Ρώσου μαθηματικού έρχεται να αποδείξει για άλλη μια φορά πως τα μαθηματικά δεν είναι... απολύτως ασφαλής ενασχόληση.
Ο μυστηριώδης κόσμος των μαθηματικών μπορεί να μετατραπεί σε παγίδα για όποιον επιλέξει να εισχωρήσει βαθειά μέσα του.
Αυτό που μένει να δούμε, είναι πότε θα βρεθεί ο επόμενος... τολμηρός που θα προσπαθήσει να δώσει στο άπειρο έναν επιπλέον χαρακτηρισμό.
Ένας εξαιρετικά ευαίσθητος άνθρωπος, ο Κάντορ, καλλιτεχνική φύση, φιλόσοφος και πιστός θρησκευόμενος.
Δεν μπορεί να αποφανθεί τελικά κανείς, τι προηγήθηκε, το πηγαίο μαθηματικό του ταλέντο ή οι φιλοσοφικές, θεολογικές του ανησυχίες και έφτασε σε απάτητα μονοπάτια του νου και δη στις απόκρημνες περιοχές του απείρου.
Κάποια στιγμή έπεσε στο βάραθρο και δεν ξαναβγήκε με εξαίρεση κάποια φωτεινά διαλείμματα για 20 χρόνια περίπου, πιστεύω όχι τόσο εξ αιτίας των "περίεργων" θεωριών του, όσο εξ αιτίας της υποδοχής που του επιφύλαξαν οι σύγχρονοι συνάδελφοί του.
Επί 30 και πλέον χρόνια δίδαξε σε ένα δευτεροκλασάτο Πανεπιστήμιο, του Χάλε, στη Γερμανία, παρά τις απεγνωσμένες του παρακλήσεις και αιτήσεις για διορισμό στο Γκέτιγκεν ή στο Βερολίνο.
Αιτία το αρτηριοσκληρωτικό κατεστημένο της εποχής που είχαν συστήσει άνθρωποι σαν τον Κρόνεκερ.
Υπερβολές ? Ίσως.
Έτσι όμως το εξέλαβε τελικά ένας ευαίσθητος άνθρωπος σαν τον Κάντορ το 1880 περίπου, ο οποίος ένιωθε πιεσμένος αφόρητα και από την αδιέξοδη εμμονή του να επιλύσει τον γρίφο της λεγόμενης "υπόθεσης του συνεχούς".
Είχε ανακαλύψει έναν καινούργιο κόσμο !
Στην αλληλογραφία του περιέγραφε ότι δεν μπορούσε να πιστέψει αυτά που συμπέραινε !
Μήπως ;
Μήπως ήταν όλα ανοησίες ?
Μήπως δεν άξιζε τίποτε ?
Μήπως είχαν όλοι οι υπόλοιποι δίκιο κι αυτός είχε λάθος ?
Ποια είναι τελικά η λογική πραγματικότητα και ποιο είναι το ψέμα ?
Τι είναι αληθοφανές τελικά ?
Ότι..
.... ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει τον ίδιο αριθμό
Η Άλγεβρα, τα μαθηματικά, η επιστήμη, δεν θα είχαν μπορέσει να προχωρήσουν χωρίς τον αριθμό Μηδέν.
Αιώνες αργότερα, τον εικοστό αιώνα, έλλειπε κάτι ακόμα από τους αριθμούς. Έλλειπε το Άπειρο.
Το Άπειρο το συνέλαβε ο Αναξίμανδρος στην Μίλητο αλλά η πρώτη μαθηματική αναφορά στο Άπειρο έρχεται από τον Ζήνωνα, μαθητή του Παρμενίδη, τον πέμπτο αιώνα "Προ Κοινής Εποχής".
Μέσα στα επόμενα εκατό χρόνια η έννοια του Άπειρου κατανοήθηκε και στην Ινδία, στο μαθηματικό κείμενο Σουρία Πραχναπτί. Το Άπειρο μπήκε πλέον στα μαθηματικά από τον Γεόργκ Κάντορ (1845-191. Το Άπειρο είναι εκεί που σταματάει το ανθρώπινο μυαλό. Είναι αδύνατο να συλληφθεί στην έκτασή του όσο και να νομίζει ο άνθρωπος ότι τουλάχιστον αντιλαμβάνεται την έννοια του να μην υπάρχει τέλος.
Το ανθρώπινο μυαλό ήδη δεν συλλαμβάνει μεγάλους αριθμούς.
Είναι εύκολο να πιάσουμε αριθμούς όπως 300,000 χιλιόμετρα μέχρι το Φεγγάρι, ή 1,000,000 Ευρώ.
Αλλά από δισεκατομμύριο, τρισεκατομμύριο και πάνω τα νούμερα αυτά γίνονται αφηρημένα χωρίς να μπορούμε να τα κατανοούμε όπως παραδείγματος χάριν μπορούμε να κατανοήσουμε μια απόσταση δέκα μέτρων.
Υπάρχει ο αριθμός Γκούγκολ, ο οποίος είναι ο αριθμός "1" ακολουθούμενος από 100 μηδενικά (το δισεκατομμύριο είναι ο αριθμός "1" ακολουθούμενος από εννέα μηδενικά).
Υπάρχει ο αριθμός Γκούγκολπλεξ, ο οποίος είναι ο αριθμός δέκα στην δύναμη του Γκούγκολ. Δηλαδή το δέκα στην δύναμη του δέκα στην δύναμη του εκατό. Δεν μπορώ να γράψω πόσα μηδενικά είναι αυτά.
Αλλά το Γκούγκολπλεξ δεν είναι τίποτα μπροστά στο Άπειρο. Το Άπειρο είναι άπειρα Γκούγκολπλεξ.
Ακόμα και ένα Γκούγκολπλεξ στην δύναμη του Γκούγκολπλεξ, δεν είναι τίποτα μπροστά στο Άπειρο.
Εν τω μεταξύ, το να γράψει κανείς με μολύβι, ή στυλό, σε ένα κομμάτι χαρτί, τον αριθμό Γκούγκολπλεξ, είναι αδύνατο, γιατί θα χρειαζόταν χαρτί μεγαλύτερης επιφάνειας από την χωρητικότητα του γνωστού σύμπαντος.
Υπάρχουν λιγότερα άτομα στο γνωστό σύμπαν όλων των γνωστών γαλαξιών από όσο είναι ένα Γκούγκολπλεξ. Και το Γκούγκολπλεξ, είπαμε, δεν είναι τίποτα συγκρινόμενο με το Άπειρο.
Βέβαια, υπάρχει και ο αριθμός του Γκράχαμ, ο οποίος είναι πολύ μεγαλύτερος από το Γκούγκολπλεξ αλλά ούτε ο κύριος Γκράχαμ δεν ξέρει πόσα νούμερα έχει μέσα του.
Το Άπειρο είναι περίεργο και παράδοξο.
Άπειρο + 1 = Άπειρο
Άπειρο + Άπειρο = Άπειρο
Άπειρο - 1 = Άπειρο
Άπειρο - Άπειρο = Μηδέν... αλλά όχι ακριβώς.
Σκεφτείτε το ξενοδοχείο, Ξενοδοχείον "Το Άπειρο", ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια.
Το ξενοδοχείο είναι φουλ, με άπειρους τουρίστες σε όλα τα δωμάτια.
Όταν έρθετε να κοιμηθείτε το βράδυ, αν και το ξενοδοχείο είναι πλήρες, το Άπειρο έχει πάντα ένα δωμάτιο παραπάνω. Υπάρχει και για σας ένα.
Αν όμως το επόμενο πρωί φύγουν Άπειροι τουρίστες από το ξενοδοχείο, τότε Άπειρα δωμάτια μείον Άπειροι τουρίστες ίσον 1.
Γιατί εσείς μείνατε στο δωμάτιό σας.
Τότε, Άπειρο - Άπειρο = 1. Και ου το καθεξής.
Αν φεύγατε όμως και εσείς μαζί με τους τουρίστες, τότε θα μπορούσαμε να πούμε ότι Άπειρο - Άπειρο = Μηδέν;
Όχι ακριβώς, γιατί το Άπειρο δεν έχει τέλος, άρα όσο και να αφαιρέσετε, λογικά παραμένουν Άπειρες θέσεις που δεν αφαιρέσατε.
Εάν το Σύμπαν είναι Άπειρο, και το γνωστό Σύμπαν έχει ακτίνα 13,7 δισεκατομμύρια έτη φωτός από την Γη (όση απόσταση κάλυψε το φως από το Μπιγκ Μπάνγκ για να φτάσει σε εμάς σήμερα), τότε, τι υπάρχει πέρα από το Γνωστό Σύμπαν;
Σύμπαν επ' Άπειρο, ή επαναλαμβανόμενα Σύμπαντα, όπου υπάρχουν άπειρες κόπιες του κάθε τι που υπάρχει στο γνωστό Σύμπαν, ημών συμπεριλαμβανομένων, με διαφορετικές όμως τύχες;
Οι νόμοι της φυσικής υποδεικνύουν ότι η τιμή της υπάρχουσας ύλης δεν μπορεί να είναι Άπειρη.
Ή, ίσως να είναι Άπειρη αλλά εμείς να μην έχουμε την ικανότητα να αντιληφθούμε την πραγματική κοσμική Φυσική και οι νόμοι που ανακαλύπτουμε να είναι πλασματικοί, αντιπροσωπεύοντες μόνο εκείνο το οποίο να μπορούμε να κατανοήσουμε -ή, που θέλουμε να κατανοήσουμε.
Κι όμως ένας Άνθρωπος
Κατάφερε να το Μετρήσει
Κάθε αυστηρά ορισμένη μαθηματική έννοια που φαίνεται απρόσιτη ανάμεσα στους περίεργους συμβολισμούς, γίνεται αμέσως πιο ενδιαφέρουσα όταν εμπλακεί η φιλοσοφία για να της δώσει μια πιο... γλυκιά όψη.
Αυτός είναι και ο μοναδικός τρόπος ώστε η μαθηματική λογική να γίνει αντιληπτή χωρίς να απαιτούνται μαθηματικές γνώσεις.
Φιλοσοφία και μαθηματικά δημιούργησαν από πολύ νωρίς σχέσεις αλληλεξάρτησης.
Ο βασικός παράγοντας για να αρχίσει αυτή η... σύμπλευση των επιστημών βρισκόταν κρυμμένος πίσω από την πιο μυστηριώδη έννοια των μαθηματικών, το άπειρο.
Τόσο οι μαθηματικοί όσο και οι φιλόσοφοι δυσκολεύονταν να κατανοήσουν την αφηρημένη έννοια του απείρου.
Το... πλαγιαστό οχτάρι εμφανιζόταν σαν θεϊκό σύμβολο στα τετράδια των επιστημόνων, εκφράζοντας την έννοια του αμέτρητου, του άπιαστου, ίσως και του ανεξήγητου.
Ο Ρώσος μαθηματικός,
η Θεωρία Συνόλων και
οι πρωτοποριακές ιδέες του
Παρόλο που η έννοια του απείρου, υπήρχε από τα αρχαιότατα χρόνια, η συντριπτική πλειοψηφία των μαθηματικών επέλεγε να μην ασχοληθεί αναλυτικά με την εξήγηση αυτού. οι πρωτοποριακές ιδέες του
Λίγο μετά τα μέσα του 19ου αιώνα, ένας παράτολμος Ρώσος αποφάσισε να εστιάσει τις έρευνες του γύρω από την σημασία του απείρου, προσπαθώντας να του δώσει έναν πιο δομημένο ορισμό.
Κάποια χρόνια μετά, οι προσπάθειες του Γκέοργκ Κάντορ στέφθηκαν από απόλυτη επιτυχία. Το άπειρο δεν αποτελούσε πλέον τον «δαίμονα» των μαθηματικών. Μήπως όμως είχε καταφέρει να εισβάλει τόσο βαθειά στην σκέψη του, ώστε ο Ρώσος μαθηματικός να χάσει... την λογική του;
Στην προσπάθεια του να διασαφηνίσει την έννοια του απείρου, ο Κάντορ δημιούργησε έναν ολοκαίνουργιο κλάδο των μαθηματικών, την Θεωρία Συνόλων.
Η έννοια του συνόλου υπήρχε από παλαιότερα στα μαθηματικά, όμως το περιεχόμενο ενός συνόλου δεν θα μπορούσε παρά να είναι πεπερασμένο σε πλήθος.
Ο Ρώσος μαθηματικός δημιούργησε σύνολα που περιείχαν άπειρα στοιχεία και εργάστηκε πολλά χρόνια ώστε να ολοκληρώσει την θεωρία του.
Τον είπανε απατεώνα, τον εξορίσανε από τα κυκλώματα της εποχής και η επαγγελματική του εξέλιξη παρέμεινε μηδενική. Κάποια στιγμή το τελειωτικό χτύπημα ήταν η μη δημοσίευση του Principien από τον Mittag-Leffler το 1885.
Από τότε ξεκίνησε μια πορεία στο λαβύρινθο του ασυνείδητου, ο οργανισμός του έφτιαξε ένα στέρεο κέλυφος άμυνας ψευδαίσθησης απέναντι στη σκληρή πραγματικότητα ! Αυτό το κέλυφος που δεν μπόρεσε να κατασκευάσει όσο ήταν μέσα στη σύμβαση του κόσμου. Και χάθηκε μέσα στην καθόλου σκέψη ! στην πλήρη αφαίρεση !Όταν πια αναγνωρίστηκε το έργο του μετά από λίγο ήταν πια αργά για να το χαρεί !Το παράδειγμα της ζωής του Γκέοργκ Κάντορ μας δείχνει ότι όταν τα Μαθηματικά είναι ελεύθερα και συνδεδεμένα με τις ανησυχίες και τους γενικότερους προβληματισμούς του ανθρώπου, άσχετα με το όποιο τίμημα, αποδίδουν καρπούς και προχωράνε την επιστήμη και τη σκέψη !
Η Μεγάλη Ανακάλυψη του Κάντορ
Οι δύο "όψεις" του... απείρου
Χρησιμοποιώντας την θεωρία συνόλων, κατέληξε πως υπάρχουν διαφορετικές όψεις της ίδιας έννοιας.
Αν για παράδειγμα πάρουμε στη σειρά όλους τους φυσικούς αριθμούς (1,2,3,4,...) τότε προφανώς θα φτάσουμε ως το άπειρο.
Αν προσπαθήσουμε να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας, πάλι θα φτάσουμε στο άπειρο, όμως με έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο.
Στο σύνολο των φυσικών αριθμών υπάρχει μια συγκεκριμένη και σαφής πορεία προς το άπειρο.
Κάθε αριθμός απέχει απόσταση ίση με «1» από τον προηγούμενο του, ενώ μπορεί να αντιστοιχίσουμε κάθε στοιχείο του συνόλου με έναν πεπερασμένο αριθμό.
Από την άλλη, δεν υπάρχει καμία τεχνική για να μετρήσουμε τα σημεία μιας ευθείας. Μάλιστα, αποδεικνύεται πως ανάμεσα σε οποιαδήποτε δύο σημεία της υπάρχει και άλλο στοιχείο.
Η έννοια του απείρου είναι πολύ πιο ισχυρή πάνω στην ευθεία, ή αντίστοιχα πάνω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Η «πάλη» του Κάντορ
με το άπειρο
Ο πρώτος σαφής χαρακτηρισμός του
Υπάρχουν αμέτρητοι τρόποι να φτάσει κανείς στο άπειρο. Αυτό που διαφέρει σε κάθε περίπτωση είναι, κατά κάποιο τρόπο, η «ταχύτητα» με την οποία μπορεί να το προσεγγίσει.
Ο Κάντορ απέδειξε πως υπάρχουν άπειρα σύνολα τα οποία είναι απείρως μεγαλύτερα από... μικρότερα άπειρα σύνολα. Διαίρεσε την έννοια του απείρου σε δύο ξεχωριστές υποκατηγορίες.
Αν ένα σύνολο περιέχει άπειρα στοιχεία μπορεί να είναι είτε αριθμήσιμο είτε υπεραριθμήσιμο.
Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των δύο υποκατηγοριών είναι πολύ αυστηρά ορισμένη.
Αν τα στοιχεία ενός συνόλου μπορούν να «μετρηθούν» μέσω κάποιας αντιστοιχίας τότε το σύνολο είναι αριθμήσιμο. Για παράδειγμα, η πορεία των φυσικών αριθμών προς το άπειρο αντιστοιχεί στον ίδιο τους τον εαυτό.
Κάθε στοιχείο αποτελεί και έναν φυσικό αριθμό, έχει δηλαδή μια συγκεκριμένη «ταυτότητα» που το ξεχωρίζει από τα υπόλοιπα. Αντιθέτως, στην περίπτωση της ευθείας δεν υπάρχει κατάλληλη αντιστοιχία που να καλύπτει όλο το σύνολο.
Αφού λοιπόν το σύνολο δεν μπορεί να μετρηθεί, τότε χαρακτηρίζεται ως υπεραριθμήσιμο.
Οι επιρροές του μαθηματικού από την φιλοσοφία
Η κατάληξη του παράτολμου επιστήμονα
Χρησιμοποίησε έννοιες που θεωρούνταν «απαγορευμένες» στην τότε μαθηματική κοινότητα, προκαλώντας μάλιστα αρκετές αντιδράσεις.
Τα ερεθίσματα που τον οδήγησαν στις απίθανες ανακαλύψεις του, προέρχονταν από τον χώρο της φιλοσοφίας.
Η έννοια του απείρου, όταν αναφερόταν στα λόγια κάποιου φιλόσοφου, ακουγόταν πολύ πιο φιλική στα αυτιά του Ρώσου μαθηματικού.
Τα θεωρητικά λόγια που άκουγε και διάβαζε σε βιβλία γύρω από την έννοια του απείρου, του έδωσαν το έναυσμα για την αρχή των ερευνών του.
Ωστόσο η αφοσίωση του πάνω σε ένα τόσο λεπτό ζήτημα τον οδήγησε, ευτυχώς μετά από τις ανακαλύψεις του, στο ψυχιατρείο.
Ο Ρώσος μαθηματικός άρχισε να χάνει την λογική του, έπεσε σε πολύ βαθειά κατάθλιψη και έχασε κάθε επαφή με τον έξω κόσμο όταν εισήχθη σε νοσοκομείο, όπου πέρασε τα τελευταία χρόνια της ζωής του.
Η περίπτωση του πασίγνωστου Ρώσου μαθηματικού έρχεται να αποδείξει για άλλη μια φορά πως τα μαθηματικά δεν είναι... απολύτως ασφαλής ενασχόληση.
Ο μυστηριώδης κόσμος των μαθηματικών μπορεί να μετατραπεί σε παγίδα για όποιον επιλέξει να εισχωρήσει βαθειά μέσα του.
Αυτό που μένει να δούμε, είναι πότε θα βρεθεί ο επόμενος... τολμηρός που θα προσπαθήσει να δώσει στο άπειρο έναν επιπλέον χαρακτηρισμό.
Δεν μπορεί να αποφανθεί τελικά κανείς, τι προηγήθηκε, το πηγαίο μαθηματικό του ταλέντο ή οι φιλοσοφικές, θεολογικές του ανησυχίες και έφτασε σε απάτητα μονοπάτια του νου και δη στις απόκρημνες περιοχές του απείρου.
Κάποια στιγμή έπεσε στο βάραθρο και δεν ξαναβγήκε με εξαίρεση κάποια φωτεινά διαλείμματα για 20 χρόνια περίπου, πιστεύω όχι τόσο εξ αιτίας των "περίεργων" θεωριών του, όσο εξ αιτίας της υποδοχής που του επιφύλαξαν οι σύγχρονοι συνάδελφοί του. Επί 30 και πλέον χρόνια δίδαξε σε ένα δευτεροκλασάτο Πανεπιστήμιο, του Χάλε, στη Γερμανία, παρά τις απεγνωσμένες του παρακλήσεις και αιτήσεις για διορισμό στο Γκέτιγκεν ή στο Βερολίνο.
Αιτία το αρτηριοσκληρωτικό κατεστημένο της εποχής που είχαν συστήσει άνθρωποι σαν τον Κρόνεκερ.
Υπερβολές ? Ίσως.
Έτσι όμως το εξέλαβε τελικά ένας ευαίσθητος άνθρωπος σαν τον Κάντορ το 1880 περίπου, ο οποίος ένιωθε πιεσμένος αφόρητα και από την αδιέξοδη εμμονή του να επιλύσει τον γρίφο της λεγόμενης "υπόθεσης του συνεχούς".
Είχε ανακαλύψει έναν καινούργιο κόσμο !
Στην αλληλογραφία του περιέγραφε ότι δεν μπορούσε να πιστέψει αυτά που συμπέραινε !
Μήπως ;
Μήπως ήταν όλα ανοησίες ?
Μήπως δεν άξιζε τίποτε ?
Μήπως είχαν όλοι οι υπόλοιποι δίκιο κι αυτός είχε λάθος ?
Ποια είναι τελικά η λογική πραγματικότητα και ποιο είναι το ψέμα ?
Τι είναι αληθοφανές τελικά ?
Ότι..
.... ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει τον ίδιο αριθμό
σημείων με μια ευθεία, και μετά από διαδοχικά
βήματα με όλο τον χώρο ?
....οι περιττοί αριθμοί έχουν την ίδια ισχύ με τους
φυσικούς ?
....αν πάρουμε το σύνολο όλων των συνόλων αυτό
είναι μικρότερο από ένα άλλο σύνολο που είναι το
δυναμοσύνολό του ?
....στα απειροσύνολα το μέρος μπορεί να είναι ίδιο
με το όλο ?
....με το λεγόμενο διαγώνιο επιχείρημα αποδεικνύεται
ότι κάποια άπειρα όπως των πραγματικών είναι
μεγαλύτερα άπειρα από εκείνα των ακεραίων ?
....υπάρχουν οι λεγόμενοι "διατακτικοί αριθμοί"
που διατάσσουν αυτά τα άπειρα μέχρι το άπειρο ?
....το λεγόμενο απόλυτο άπειρο και φιλοσοφικά
νοημένο δεν υφίσταται ?
Όλα αυτά τα "περίεργα" τα απέδειξε και τα θεμελίωσε ο Γκέοργκ Κάντορ στο τέλος του 19ου αιώνα και άνοιξε τα πανιά της επιστήμης του απειροστικού λογισμού !
Όμως δεν είχε υπολογίσει τις αντιδράσεις !
Στο Grundlagen γράφει:
"Εξ αιτίας αυτής της ιδιόμορφης θέσης που διακρίνει τα Μαθηματικά από τις άλλες επιστήμες και που είναι μια εξήγηση για τον χαλαρό και ελεύθερο τρόπο που ακολουθούν αυτά, αξίζουν το όνομα Ελεύθερα Μαθηματικά, μια ονομασία που αν είχα την επιλογή θα την προτιμούσα από την έκφραση: Καθαρά Μαθηματικά"Περίπου στο τέλος της καριέρας του, όσο ήταν ακόμη διαυγής, ασχολήθηκε με τη θεολογία αλλά και με την ιστορία. Προσπάθησε να εφαρμόσει τη θεωρία των διατακτικών αριθμών στη προσπάθεια σύλληψης της ιδέας του Θεού !
Αφού απόλυτο άπειρο δεν υπήρχε, δεν ήταν δυνατόν να εξακριβωθεί η ουσία του Θεού, όπως και το σύνολο των σκέψεων του Θεού ήταν άπειρο....
Ο Gurbelet που τον εκτιμούσε πολύ, χρησιμοποίησε τη θεωρία του Κάντορ για να θεμελιώσει κάποια επιχειρήματα ύπαρξης του Θεού.
____________________
* Γκέοργκ Κάντορ, Georg Cantor , διάσημος μαθηματικός, περισσότερο γνωστός για τη Θεωρία συνόλων που ανέπτυξε και τους υπεραριθμήσιμους αριθμούς.
Ο Γκέοργκ Κάντορ γεννήθηκε στις 3 Μαρτίου 1845 στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας.
Ήταν ο μεγαλύτερος από έξι παιδιά. Όταν ο πατέρας του αρρώστησε το 1856, η οικογένειά του μετακόμισε στη Γερμανία, πρώτα στο Βιζμπάντεν, έπειτα στη Φρανκφούρτη .
Το 1862, ο Κάντορ αποφοίτησε από το ETH Ζυρίχης, ενώ αργότερα στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Ο Γκέοργκ Κάντορ έλαβε έδρα καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Χάλε. Το 1874, ο Κάντορ παντρεύτηκε την Βάλλυ Γκούτμαν. Απέκτησαν μαζί 6 παιδιά. Εκείνη την εποχή, ο Κάντορ ανέπτυξε τη Θεωρία Συνόλων.
Το 1884, ο Κάντορ εισήχθη σε νοσοκομείο ύστερα από μια περίοδο κατάθλιψης. Αποσύρθηκε από την εκπαίδευση το 1913, ενώ πέθανε το 1918 ύστερα από μια περίοδο μεγάλης φτώχειας, σε ηλικία 72 ετών. Μεγάλη στιγμή της ζωής του είναι η απόδειξη πως το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο κάτι το οποίο κατάφερε με την τεχνική της Διαγωνιοποίησης.
Παραθέτουμε όλα τα sites, και βιβλία που στηριχθήκαμε για να στοιχειοθετηθεί
αυτή τη ανάρτηση στο σύνολό της:
αυτή τη ανάρτηση στο σύνολό της:
http://dimitristhinks.blogspot.gr/2014/03/blog-post_3715.html
http://defencenet.gr
Georg Cantor, His Mathematics and philosophy of the Infinite, Joseph Warren Dauben
Συμβολές στη θεμελίωση της θεωρίας των υπερπεπερασμένων αριθμών, Georg Cantor, ΤΡΟΧΑΛΙΑ
Άπειρο, John D. Barrow, ΤΡΑΥΛΟΣ
O Σατανάς, ο Cantor και το άπειρο, Raymond Smullyan, ΚΑΤΟΠΤΡΟ
Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, Αναπολιτάνος Διονύσιος, ΝΕΦΕΛΗ.
ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ, E. T. BELL, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ
_________________________________________________________________
album
Συμβολές στη θεμελίωση της θεωρίας των υπερπεπερασμένων αριθμών, Georg Cantor, ΤΡΟΧΑΛΙΑ
Άπειρο, John D. Barrow, ΤΡΑΥΛΟΣ
O Σατανάς, ο Cantor και το άπειρο, Raymond Smullyan, ΚΑΤΟΠΤΡΟ
Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών, Αναπολιτάνος Διονύσιος, ΝΕΦΕΛΗ.
ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ, E. T. BELL, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ
_________________________________________________________________
album
0 σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου
Σημείωση: Μόνο ένα μέλος αυτού του ιστολογίου μπορεί να αναρτήσει σχόλιο.